Cálculo, álgebra, ecuaciones diferenciales y análisis funcional.

Las ecuaciones en derivadas parciales constituyen la principal forma de modelización en ciencia y tecnología. Pocas de estas ecuaciones cuentan con una solución exacta, por este motivo su resolución numérica es esencial para el avance científico y adquirir conocimientos de análisis numérico es muy relevante en un máster de matemática aplicada.

Competencias propias de la asignatura
Código	Descripción
CB06	Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación
CB07	Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio
CB08	Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios
CB09	Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades
CB10	Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.
CE01	Resolver problemas físicos y matemáticos, planificando su resolución en función de las herramientas disponibles y de las restricciones de tiempo y recursos
CE02	Desarrollar la capacidad de decidir las técnicas adecuadas para resolver un problema concreto con especial énfasis en aquellos problemas asociados a la Modelización en Ciencias e Ingeniería, Astrofísica, Física, y Matemáticas
CE05	Saber obtener e interpretar datos de carácter físico y/o matemático que puedan ser aplicados en otras ramas del conocimiento
CE07	Capacidad para comprender y poder aplicar conocimientos avanzados de matemáticas y métodos numéricos o computacionales a problemas de biología, física y astrofísica, así como elaborar y desarrollar modelos matemáticos en ciencias, biología e ingeniería.
CE08	Capacidad de modelar, interpretar y predecir a partir de observaciones experimentales y datos numéricos
CG03	Presentar públicamente los resultados de una investigación o un informe técnico, comunicar las conclusiones a un tribunal especializado, personas u organizaciones interesadas, y debatir con sus miembros cualquier aspecto relativo a los mismos
CG04	Saber comunicarse con la comunidad académica y científica en su conjunto, con la empresa y con la sociedad en general acerca de la Física y/o Matemáticas y sus implicaciones académicas, productivas o sociales
CT03	Desarrollar el razonamiento crítico y la capacidad de crítica y autocrítica
CT05	Capacidad de aprendizaje autónomo y responsabilidad (análisis, síntesis, iniciativa y trabajo en equipo)

Resultados de aprendizaje propios de la asignatura
Descripción
Interpretación de la solución numérica obtenida y juicio crítico de su calidad. Relación con la ciencia aplicada a que hace referencia.
Comprender el diseño teórico de un método de tipo elementos finitos, diferencias finitas, volúmenes finitos y espectrales, a partir de técnicas analíticas ya conocidas (formulaciones variacionales, desarrollos de Taylor, fórmulas de integración por partes).
Comprender las características específicas de las ecuaciones elípticas, parabólicas e hiperbólicas que los métodos numéricos han de tratar adecuadamente.
Conocer y comprender los conceptos básicos de consistencia, estabilidad y convergencia de un esquema numérico en este contexto, así como su interrelación.
Adquirir la capacidad de resolver un problema concreto en equipo: desde la elección de un método adecuado hasta la presentación oral y escrita de los resultados obtenidos tras la implementación del mismo.
Aprender a utilizar algunas herramientas del Análisis básico y el Análisis Funcional para llevar a cabo el análisis numérico de un método.
Conocer algunas herramientas de software que permitan resolver completamente un problema en el ordenador, lo que conlleva saber programar, generar una malla computacional, aplicar el módulo de cálculo conveniente y visualizar la solución numérica. Resolución práctica de problemas.
Resultados adicionales
No se han establecido.

• Tema 1: Diferencias finitas
  • Tema 1.1: Problemas de contorno
  • Tema 1.2: Problemas de evolución parabólicos
  • Tema 1.3: Análisis de error
  • Tema 1.4: Prácticas
• Tema 2: Métodos espectrales
  • Tema 2.1: Aproximación de Fourier
  • Tema 2.2: Aproximación de polinomios ortogonales
  • Tema 2.3: Prácticas
• Tema 3: Elementos finitos
  • Tema 3.1: Introducción al Análisis funcional y cálculo variacional
  • Tema 3.2: Implementación efectiva y análisis de error
  • Tema 3.3: Prácticas
• Tema 4: Volúmenes finitos y diferencias finitas
  • Tema 4.1: Diferencias finitas para problemas de evolución hiperbólicos
  • Tema 4.2: Formulación y análisis de error
  • Tema 4.3: Implementación efectiva
  • Tema 4.4: Prácticas
• Tema 5: Cursos y seminarios invitados

Actividad formativa	Metodología	Competencias relacionadas (para títulos anteriores a RD 822/2021)	ECTS	Horas	Ev	Ob	Descripción
Enseñanza presencial (Teoría) [PRESENCIAL]	Método expositivo/Lección magistral	CB06	1.5	37.5	S	N	Desarrollo teórico de los contenidos del curso y resolución de ejercicios
Prácticas en aulas de ordenadores [PRESENCIAL]	Resolución de ejercicios y problemas	CB07 CB08 CB09 CB10 CE01 CE02 CE05	0.7	17.5	S	S	Resolución de problemas en el aula de ordenadores
Tutorías individuales [PRESENCIAL]		CT03 CT05	0.2	5	S	N	Tutorías individuales de resolución de dudas
Elaboración de informes o trabajos [AUTÓNOMA]	Trabajo autónomo	CE07 CE08 CG03 CG04	3.6	90	S	S	Resolución de problemas y elaboración de informes y trabajos sobre los contenidos del curso
Total:			6	150
Créditos totales de trabajo presencial: 2.4			Horas totales de trabajo presencial: 60
Créditos totales de trabajo autónomo: 3.6			Horas totales de trabajo autónomo: 90

Ev: Actividad formativa evaluable
Ob: Actividad formativa de superación obligatoria (Será imprescindible su superación tanto en evaluación continua como no continua)

Sistema de evaluación	Evaluacion continua	Evaluación no continua *	Descripción
Valoración de la participación con aprovechamiento en clase	20.00%	10.00%	Participación resolviendo problemas en clase
Realización de actividades en aulas de ordenadores	30.00%	20.00%	Resolución de prácticas y ejercicios en el aula de ordenadores
Elaboración de memorias de prácticas	50.00%	70.00%	Entrega de trabajos y ejercicios propuestos
Total:	100.00%	100.00%

No asignables a temas
Horas	Suma horas

Tema 1 (de 5): Diferencias finitas
Actividades formativas	Horas
Enseñanza presencial (Teoría) [PRESENCIAL][Método expositivo/Lección magistral]	8
Prácticas en aulas de ordenadores [PRESENCIAL][Resolución de ejercicios y problemas]	4
Tutorías individuales [PRESENCIAL][]	1
Elaboración de informes o trabajos [AUTÓNOMA][Trabajo autónomo]	20

Tema 2 (de 5): Métodos espectrales
Actividades formativas	Horas
Enseñanza presencial (Teoría) [PRESENCIAL][Método expositivo/Lección magistral]	8
Prácticas en aulas de ordenadores [PRESENCIAL][Resolución de ejercicios y problemas]	4
Tutorías individuales [PRESENCIAL][]	1
Elaboración de informes o trabajos [AUTÓNOMA][Trabajo autónomo]	20

Tema 3 (de 5): Elementos finitos
Actividades formativas	Horas
Enseñanza presencial (Teoría) [PRESENCIAL][Método expositivo/Lección magistral]	8
Prácticas en aulas de ordenadores [PRESENCIAL][Resolución de ejercicios y problemas]	4
Tutorías individuales [PRESENCIAL][]	1
Elaboración de informes o trabajos [AUTÓNOMA][Trabajo autónomo]	20

Tema 4 (de 5): Volúmenes finitos y diferencias finitas
Actividades formativas	Horas
Enseñanza presencial (Teoría) [PRESENCIAL][Método expositivo/Lección magistral]	8
Prácticas en aulas de ordenadores [PRESENCIAL][Resolución de ejercicios y problemas]	4
Tutorías individuales [PRESENCIAL][]	1
Elaboración de informes o trabajos [AUTÓNOMA][Trabajo autónomo]	20

Tema 5 (de 5): Cursos y seminarios invitados
Actividades formativas	Horas
Enseñanza presencial (Teoría) [PRESENCIAL][Método expositivo/Lección magistral]	5.5
Prácticas en aulas de ordenadores [PRESENCIAL][Resolución de ejercicios y problemas]	1.5
Tutorías individuales [PRESENCIAL][]	1
Elaboración de informes o trabajos [AUTÓNOMA][Trabajo autónomo]	10

Actividad global
Actividades formativas	Suma horas

Autor/es	Título	Libro/Revista	Población	Editorial	ISBN	Año	Descripción	Enlace Web	Catálogo biblioteca
A.Quarterioni, R.Sacco, F.Saleri	Numerical Mathematics			Springer-Verlag		2000
C. Bernardi and Y. Maday	Approximations spectrales de problemes aux limites elliptiques			Springer		1992
C. Canuto, M.Y. Hussaini, A. Quarteroni and T.A. Zang	Spectral Methods for Fluid Dynamics			Springer		1988
C. Johnson	Numerical solution of P.D.E. by the Finite Element Method			Cambridge University Press		1987
C.H. Edwards, D. E. Penney	Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Cómputo y modelado (4ª Ed)			Pearson		2009
D.F.Griffiths, A.R.Mitchell	The finite difference method in partial differential equation			John Wiley		1980
E. Godlewski, P.A. Raviart	Hyperbolic systems of conservation laws			Ellipses		1991
E. Romera, M.C. Boscá, F. Arias, F.J. Gálvez, J.I. Porras	Métodos Matemáticos: Problemas de Espacios de Hilbert, Operadores Lineales y Espectros			Paraninfo		2013
E.Godlewski, P.A. Raviart	Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws			Springer-Verlag		1996
Frederic Hecht	FreeFEM Documentation. Release 4.6					2021	Pagina oficial de FreeFEM	https://freefem.org/
G.D. Smith	Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods			Oxford University Press		1985
G.F.Forsythe, W.R.Wasow	Finite difference methods for partial differential equations			John Wiley		1960
Gwynne A. Evans, G. Evans, G. A. Evans, Jonathan M. Blackledge, J. Blackledge, Peter D. Yardley, P. Yardley	Numerical Methods for Partial Differential Equations			Springer		2000
Haïm Brézis	Análisis Funcional			Alianza Universidad Textos	84-206-8088-5	1983
J. C. Strikwerda	Finite difference Schemes and Partial Differential			Pacific Grove, CA: Wadsworth and Brooks		1989
J.H.Mathews, K.D. Fink	Métodos Numéricos con MATLAB			Prentice-Hall		2000
J.M. Sanz-Serna	Fourier techniques in numerical methods for evolutionary problems. 3RD Granada Seminar on Computational Physics			Springer		1995
J.N. Reddy	An Introduction to the Finite Element Method			MCGRAW HILL SERIES IN MECHANICAL ENGINEERING		2005
L.N. Trefethen	Spectral methods in Matlab			SIAM		2000
O.C. Zienkiewicz	The Finite Element Method in Engineering Science			McGraw-Hill		1971
P.G.Ciarlet	The finite element method for elliptic problems			North Holland		1978
P.M. Gresho, R.L. Sani	Incompressible Flow and the Finite Element. Volume Two. Isothermal Laminar Flow			John Wiley & Sons	0471492507	2000
P.M. Gresho, R.L. Sani	Incompressible Flow and the Finite Element. Volume One. Advection-Diffusion			John Wiley & Sons	0471492493	2000
R. LeVeque	Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems			Cambridge Univesity Press		2002
R.B. Richtmyer, K.W. Morton	Difference methods for initial-value problems			John Wiley & Sons		1967
R.G. Voigt, D. Gotlieb and M.Y. Hussaini	Spectral Methods for Partial Differential Equations			SIAM		1984
Randall LeVeque	Finite difference methods for ordinary and partial differential equations			SIAM		2007
Roberto Font, Francisco Periago	The Finite Element Method with FreeFem++ for beginners	The Electronic Journal of Mathematics and Tecnology, Volume 7 (4)			1933-2823	2013
S. Nakamura	Análisis Numérico y visualización gráfica con MATLAB			Pearson Educación/Prentice-Hall Hispanoamerica		1997
Sandip Mazumder	Numerical Methods for Partial Differential Equations: Finite Difference and Finite Volume Methods			Elsevier Science		2016
Stig Larsson, Vidar Thomee	Partial Differential Equations with Numerical Methods			Springer		2014